4. octave#
format long
fmt = format
warning: using the gnuplot graphics toolkit is discouraged
The gnuplot graphics toolkit is not actively maintained and has a number
of limitations that are unlikely to be fixed. Communication with gnuplot
uses a one-directional pipe and limited information is passed back to the
Octave interpreter so most changes made interactively in the plot window
will not be reflected in the graphics properties managed by Octave. For
example, if the plot window is closed with a mouse click, Octave will not
be notified and will not update its internal list of open figure windows.
The qt toolkit is recommended instead.
fmt = long
4.1. fds_example.m#
% fds_example.m by John Shiach
%
% This program solves the linear advection equation using a first order FDS
% Clear workspaces (should always be done at the start of an m-file)
clc
clearvars
% Define variables
N = 11; % number of nodes
xmin = 0; % min value of x
xmax = 1; % max value of x
dt = 0.05; % time step
v = 1; % velocity
t = 0; % initial value of t
% Calculate node positions
dx = (xmax - xmin) / (N - 1);
x = xmin:dx:xmax;
% Calculate initial conditions
u = exp(-100 * (x - 0.4).^2);
% Output column headings and initial conditions to the command window
hline = repmat('-', 1, 9 * (N + 1));
fprintf('\n%s', hline)
fprintf('\n t ')
fprintf('| u_%1i ', [0:N - 1])
fprintf('\n%s', hline)
fprintf('\n %6.2f ', t)
fprintf('|%7.4f ', u)
% pre-calculate C = v * dt / dx
C = v * dt / dx;
% Perform 3 iterations of the FDS
for n = 1:3
% Calculate boundary conditions
u(1) = 0;
u(N) = 0;
% Calculate new values of u
unew = u;
for i = 2:N - 1
unew(i) = u(i) - C * (u(i) - u(i - 1));
end
% Update t and u
t = t + dt;
u = unew;
% Output current solution
fprintf('\n %6.2f ', t)
fprintf('|%7.4f ', u)
end
fprintf('\n%s\n\n', hline)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
t
| u_0 | u_1 | u_2 | u_3 | u_4 | u_5 | u_6 | u_7 | u_8 | u_9 | u_10
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0.00
| 0.0000 | 0.0001 | 0.0183 | 0.3679 | 1.0000 | 0.3679 | 0.0183 | 0.0001 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000
0.05 | 0.0000 | 0.0001 | 0.0092 | 0.1931 | 0.6839 | 0.6839 | 0.1931 | 0.0092 | 0.0001 | 0.0000 | 0.0000
0.10 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0046 | 0.1012 | 0.4385 | 0.6839 | 0.4385 | 0.1012 | 0.0046 | 0.0000 | 0.0000
0.15 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0023 | 0.0529 | 0.2698 | 0.5612 | 0.5612 | 0.2698 | 0.0529 | 0.0023 | 0.0000
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4.2. laplace.m#
% laplace.m by John Shiach
%
% This program calculates the solution to the Laplace equation using the
% Jacobi method
clearvars
close all
% define variables
Nx = 5; % no. of nodes in the x direction (inc ghost nodes)
Ny = 4; % no. of nodes in the y direction (inc ghost nodes)
lenx = 4; % length of the x domain
leny = 3; % length of the y domain
err = 1; % error between sucessive iterations
tol = 1e-6; % convergence tolerance
k = 0; % iteration counter
% Calculate x and y node co-ordinates
dx = lenx / (Nx - 1);
dy = leny / (Ny - 1);
x = 0:dx:lenx;
y = 0:dy:leny;
[x, y] = meshgrid(x, y);
% Initialise solution array
u = [8.9 8.9 8.9 8.9 8.9;
8.4 0.0 0.0 0.0 9.2;
7.2 0.0 0.0 0.0 9.4;
6.1 6.8 7.7 8.7 9.8];
u = flipud(u); % invert u to be consistent with matrix indexing
% output column heading and initial values
hline = repmat('-', 1, 12 * ((Nx - 2) * (Ny - 2) + 2));
fprintf('%s\n k |', hline)
for j = 1:Ny - 2
for i = 1:Nx - 2
fprintf(' u(%1i, %1i) |', i, j)
end
end
fprintf(' L2 error\n%s \n %4i ', hline, k)
fprintf('|%10.6f ', u(2:Ny - 1, 2:Nx - 1)')
fprintf('|%10.6f\n', err)
% perform iterations until convergence
while err > tol
% calculate improved estimate using the Jacobi method
unew = u;
for j = 2:Ny - 1
for i = 2:Nx - 1
unew(j, i) = (u(j + 1, i) + u(j, i + 1) + u(j - 1, i) + u(j, i - 1)) / 4;
end
end
% calculate absolute error
err = sqrt(sum(sum((unew - u).^2)));
% update u
u = unew;
k = k + 1;
% output current solution
fprintf(' %4i ', k)
fprintf('|%10.6f ', u(2:Ny-1, 2:Nx-1)')
fprintf('|%10.6f \n', err)
end
fprintf('%s\n', hline)
% Plot solution
surf(x, y, u)
xlabel('$x$', 'fontsize', 16, 'interpreter', 'latex')
ylabel('$y$', 'fontsize', 16, 'interpreter', 'latex')
zlabel('$U(x, y)$', 'fontsize', 16, 'interpreter', 'latex')
------------------------------------------------------------------------------------------------
k |
u(1, 1) | u(2, 1) | u(3, 1) | u(1, 2) | u(2, 2) | u(3, 2) |
L2 error
------------------------------------------------------------------------------------------------
0
| 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000
| 1.000000
1 | 3.500000 | 1.925000 | 4.525000 | 4.325000 | 2.225000 | 4.525000 | 8.975696
2 | 5.062500 | 4.487500 | 6.137500 | 5.756250 | 4.918750 | 6.212500 | 4.874463
3 | 6.060937 | 5.954688 | 7.200000 | 6.820312 | 6.339063 | 7.289062 | 2.930346
4 | 6.693750 | 6.825000 | 7.835938 | 7.425000 | 7.241016 | 7.909766 | 1.768262
5 | 7.062500 | 7.367676 | 8.208691 | 7.808691 | 7.764941 | 8.294238 | 1.067219
6 | 7.294092 | 7.684033 | 8.440479 | 8.031860 | 8.092651 | 8.518408 | 0.644121
7 | 7.428973 | 7.881805 | 8.575610 | 8.171686 | 8.283575 | 8.658282 | 0.388761
8 | 7.513373 | 7.997040 | 8.660022 | 8.253137 | 8.402943 | 8.739796 | 0.234638
9 | 7.562544 | 8.069085 | 8.709209 | 8.304079 | 8.472493 | 8.790741 | 0.141617
10 | 7.593291 | 8.111062 | 8.739956 | 8.333759 | 8.515976 | 8.820426 | 0.085473
11 | 7.611205 | 8.137306 | 8.757872 | 8.352317 | 8.541312 | 8.838983 | 0.051588
12 | 7.622406 | 8.152597 | 8.769072 | 8.363129 | 8.557151 | 8.849796 | 0.031136
13 | 7.628932 | 8.162157 | 8.775598 | 8.369889 | 8.566381 | 8.856556 | 0.018792
14 | 7.633012 | 8.167728 | 8.779678 | 8.373828 | 8.572151 | 8.860495 | 0.011342
15 | 7.635389 | 8.171210 | 8.782056 | 8.376291 | 8.575513 | 8.862957 | 0.006846
16 | 7.636875 | 8.173239 | 8.783542 | 8.377725 | 8.577614 | 8.864392 | 0.004132
17 | 7.637741 | 8.174508 | 8.784408 | 8.378622 | 8.578839 | 8.865289 | 0.002494
18 | 7.638283 | 8.175247 | 8.784949 | 8.379145 | 8.579605 | 8.865812 | 0.001505
19 | 7.638598 | 8.175709 | 8.785265 | 8.379472 | 8.580051 | 8.866139 | 0.000908
20 | 7.638795 | 8.175978 | 8.785462 | 8.379662 | 8.580330 | 8.866329 | 0.000548
21 | 7.638910 | 8.176147 | 8.785577 | 8.379781 | 8.580492 | 8.866448 | 0.000331
22 | 7.638982 | 8.176245 | 8.785649 | 8.379851 | 8.580594 | 8.866517 | 0.000200
23 | 7.639024 | 8.176306 | 8.785691 | 8.379894 | 8.580653 | 8.866561 | 0.000121
24 | 7.639050 | 8.176342 | 8.785717 | 8.379919 | 8.580690 | 8.866586 | 0.000073
25 | 7.639065 | 8.176364 | 8.785732 | 8.379935 | 8.580712 | 8.866602 | 0.000044
26 | 7.639075 | 8.176377 | 8.785741 | 8.379944 | 8.580725 | 8.866611 | 0.000027
27 | 7.639080 | 8.176385 | 8.785747 | 8.379950 | 8.580733 | 8.866617 | 0.000016
28 | 7.639084 | 8.176390 | 8.785751 | 8.379953 | 8.580738 | 8.866620 | 0.000010
29 | 7.639086 | 8.176393 | 8.785753 | 8.379955 | 8.580741 | 8.866622 | 0.000006
30 | 7.639087 | 8.176395 | 8.785754 | 8.379957 | 8.580743 | 8.866623 | 0.000004
31 | 7.639088 | 8.176396 | 8.785755 | 8.379957 | 8.580744 | 8.866624 | 0.000002
32 | 7.639088 | 8.176397 | 8.785755 | 8.379958 | 8.580744 | 8.866625 | 0.000001
33 | 7.639089 | 8.176397 | 8.785755 | 8.379958 | 8.580745 | 8.866625 | 0.000001
------------------------------------------------------------------------------------------------
4.3. Tridiag.m#
function x = Tridiag(A, d)
% This function solves a tridiagonal linear system of the form Ax = d
% using the Thomas algorithm
% Calculate size of the system
N = length(d);
% Determine lower, main and upper diagonal elements
a = [0; diag(A, -1)];
b = diag(A);
c = [diag(A, 1); 0];
% Forward sweep
c(1) = c(1) / b(1);
d(1) = d(1) / b(1);
for i = 2:N
c(i) = c(i) / (b(i) - a(i) * c(i - 1));
d(i) = (d(i) - a(i) * d(i - 1)) / (b(i) - a(i) * c(i - 1));
end
% Backward sweep
x(N) = d(N);
for i = N - 1:-1:1
x(i) = d(i) - c(i) * x(i + 1);
end
end
4.4. advection.m#
% advection.m by John Shiach
%
% This program solves the advection equation using the FOU scheme
% Clear workspaces
clearvars
close all
% Define variables
N = 101; % number of nodes
xmin = 0; % lower bound of x
xmax = 1; % upper bound of x
v = 0.5; % velocity
t = 0; % time variable
tmax = 1; % max value of t
dt = 0.01; % time step
% Discretise the domain (remember to include ghost nodes)
dx = (xmax - xmin) / (N - 1);
x = xmin - dx:dx:xmax + dx;
function u = f(x)
% This function defines the initial profile.
u = exp(-200 * (x - 0.25).^2);
end
% Define initial conditions
u = f(x); % solution array u^n
% Time marching loop
while t < tmax
% Ensure that t does not exceed tmax
dt = min(dt, tmax - t);
% Calculate boundary conditions
u(1) = u(3);
u(N + 2) = u(N);
% Calculate values of u^(n + 1) using the FOU scheme
unew = u;
C = v * dt / dx;
for i = 2:N + 1
unew(i) = u(i) - C * (u(i) - u(i -1));
end
% Update u and t
u = unew;
t = t + dt;
% Calculate exact solution
uexact = f(x - v * t);
% Plot the numerical against the exact solution
plot(x, uexact, 'r-', 'linewidth', 2)
hold on
plot(x, u, 'bo-', 'markerfacecolor', 'b')
hold off
axis([xmin, xmax, -0.5, 1.5])
xlabel('$x$', 'fontsize', 16, 'interpreter', 'latex')
ylabel('$u(t, x)$', 'fontsize', 16, 'interpreter', 'latex')
title(sprintf('$t = %1.3f$ s', t), 'fontsize', 16, 'interpreter', 'latex')
shg
pause(0.001)
end
% Add legends to plot
leg = legend('exact solution', 'numerical solution');
set(leg, 'fontsize', 12, 'interpreter', 'latex')
|-------------------------$t = 0.010$ s----------------------------|
1.5 +|+ + + + + +-+|
+| + + + + +|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
1 +|+#############GGG##############################################+-+|
#|#############G###G############################################## |
#|############G#####G############################################# |
0.5 +|+##########G#######G###########################################+-+|
#|###########G#######G############################################ |
#|#########GG#########GG########################################## |
#|########GG###########GG######################################### |
0 G|GGGGGGGG###############GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
+|------------------------------------------------------------------|
-0.5 +-+##########+#############+############+#############+##########+-+
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
$x$
|-------------------------$t = 0.020$ s----------------------------|
1.5 +|+ + + + + +-+|
+| + + + + +|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
1 +|+#############GGGG#############################################+-+|
#|#############G###G############################################## |
#|#############G####G############################################# |
0.5 +|+###########G######G###########################################+-+|
#|###########G#######GG########################################### |
#|##########G##########G########################################## |
#|#########G###########GG######################################### |
0 G|GGGGGGGGG##############GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
+|------------------------------------------------------------------|
-0.5 +-+##########+#############+############+#############+##########+-+
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
$x$
|-------------------------$t = 0.030$ s----------------------------|
1.5 +|+ + + + + +-+|
+| + + + + +|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
1 +|+##############GGG#############################################+-+|
#|#############GG##GG############################################# |
#|#############G#####G############################################ |
0.5 +|+###########G######G###########################################+-+|
#|###########G########G########################################### |
#|##########GG#########G########################################## |
#|#########G############GG######################################## |
0 G|GGGGGGGGG##############GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
+|------------------------------------------------------------------|
-0.5 +-+##########+#############+############+#############+##########+-+
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
$x$
|-------------------------$t = 0.040$ s----------------------------|
1.5 +|+ + + + + +-+|
+| + + + + +|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
1 +|+##############GGG#############################################+-+|
#|##############G###G############################################# |
#|#############G#####G############################################ |
0.5 +|+############G#####G###########################################+-+|
#|###########GG#######GG########################################## |
#|###########G#########G########################################## |
#|#########GG###########GG######################################## |
0 G|GGGGGGGGGG#############GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
+|------------------------------------------------------------------|
-0.5 +-+##########+#############+############+#############+##########+-+
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
$x$
|-------------------------$t = 0.050$ s----------------------------|
1.5 +|+ + + + + +-+|
+| + + + + +|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
1 +|+##############GGG#############################################+-+|
#|##############GG##GG############################################ |
#|#############G#####G############################################ |
0.5 +|+############G######G##########################################+-+|
#|############G########G########################################## |
#|###########G#########GG######################################### |
#|#########GG############G######################################## |
0 G|GGGGGGGGGG##############GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
+|------------------------------------------------------------------|
-0.5 +-+##########+#############+############+#############+##########+-+
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
$x$
|-------------------------$t = 0.060$ s----------------------------|
1.5 +|+ + + + + +-+|
+| + + + + +|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
1 +|+##############GGGG############################################+-+|
#|###############G###G############################################ |
#|##############G####G############################################ |
0.5 +|+############G######G##########################################+-+|
#|############GG#######G########################################## |
#|###########G##########G######################################### |
#|##########GG###########G######################################## |
0 G|GGGGGGGGGG##############GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
+|------------------------------------------------------------------|
-0.5 +-+##########+#############+############+#############+##########+-+
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
$x$
|-------------------------$t = 0.070$ s----------------------------|
1.5 +|+ + + + + +-+|
+| + + + + +|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
1 +|+###############GGG############################################+-+|
#|###############G###G############################################ |
#|##############G#####G########################################### |
0.5 +|+############G#######G#########################################+-+|
#|#############G#######G########################################## |
#|###########GG#########GG######################################## |
#|##########GG###########GG####################################### |
0 G|GGGGGGGGGG###############GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
+|------------------------------------------------------------------|
-0.5 +-+##########+#############+############+#############+##########+-+
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
$x$
|-------------------------$t = 0.080$ s----------------------------|
1.5 +|+ + + + + +-+|
+| + + + + +|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
1 +|+###############*GG*###########################################+-+|
#|###############GG##G############################################ |
#|###############G####G########################################### |
0.5 +|+#############G######G#########################################+-+|
#|#############G#######GG######################################### |
#|############G##########G######################################## |
#|##########GG###########GGG###################################### |
0 G|GGGGGGGGGG*##############GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
+|------------------------------------------------------------------|
-0.5 +-+##########+#############+############+#############+##########+-+
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
$x$
|-------------------------$t = 0.090$ s----------------------------|
1.5 +|+ + + + + +-+|
+| + + + + +|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
1 +|+################GGG###########################################+-+|
#|###############*G##G*########################################### |
#|###############G####GG########################################## |
0.5 +|+#############G######G#########################################+-+|
#|#############G########G######################################### |
#|############GG#########G######################################## |
#|###########G############GG###################################### |
0 G|GGGGGGGGGGG##############GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
+|------------------------------------------------------------------|
-0.5 +-+##########+#############+############+#############+##########+-+
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
$x$
|-------------------------$t = 0.100$ s----------------------------|
1.5 +|+ + + + + +-+|
+| + + + + +|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
1 +|+################GGG###########################################+-+|
#|################GG#GG########################################### |
#|###############G#####G########################################## |
0.5 +|+##############G#####G#########################################+-+|
#|#############GG#######GG######################################## |
#|#############G#########G######################################## |
#|###########GG###########GG###################################### |
0 G|GGGGGGGGGGG*#############*GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
+|------------------------------------------------------------------|
-0.5 +-+##########+#############+############+#############+##########+-+
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
$x$
|-------------------------$t = 0.110$ s----------------------------|
1.5 +|+ + + + + +-+|
+| + + + + +|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
1 +|+################GGG###########################################+-+|
#|################*G##G*########################################## |
#|###############GG####G########################################## |
0.5 +|+##############G######G########################################+-+|
#|##############G########G######################################## |
#|#############G#########GG####################################### |
#|###########GG############G###################################### |
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-0.5 +-+##########+#############+############+#############+##########+-+
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
$x$
|-------------------------$t = 0.760$ s----------------------------|
1.5 +|+ + + + + +-+|
+| + + + + +|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
1 +|+######################################****####################+-+|
#|######################################*###*##################### |
#|######################################GGGGG*#################### |
0.5 +|+###################################GGG####GG##################+-+|
#|####################################G#######*G################## |
#|##################################GG##########GG################ |
#|################################GG*###########**GG############## |
0 G|GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG**##############**GGGGGGGGGGGGGGGG|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
+|------------------------------------------------------------------|
-0.5 +-+##########+#############+############+#############+##########+-+
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
$x$
|-------------------------$t = 0.770$ s----------------------------|
1.5 +|+ + + + + +-+|
+| + + + + +|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
1 +|+#######################################***####################+-+|
#|######################################**##**#################### |
#|######################################GGGGGG*################### |
0.5 +|+####################################GG#####G##################+-+|
#|####################################G########GG################# |
#|##################################GG*#########GG################ |
#|################################GGG############*GG############## |
0 G|GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG*##############**GGGGGGGGGGGGGGGG|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
+|------------------------------------------------------------------|
-0.5 +-+##########+#############+############+#############+##########+-+
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
$x$
|-------------------------$t = 0.780$ s----------------------------|
1.5 +|+ + + + + +-+|
+| + + + + +|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
1 +|+#######################################***####################+-+|
#|#######################################*###*#################### |
#|######################################*GGGGG*################### |
0.5 +|+####################################GG#####GG#################+-+|
#|####################################G*#######*G################# |
#|##################################GGG#########GGG############### |
#|################################GGG*###########*GGG############# |
0 G|GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG**#############**GGGGGGGGGGGGGGGG|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
+|------------------------------------------------------------------|
-0.5 +-+##########+#############+############+#############+##########+-+
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
$x$
|-------------------------$t = 0.790$ s----------------------------|
1.5 +|+ + + + + +-+|
+| + + + + +|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
1 +|+#######################################***####################+-+|
#|#######################################**##**################### |
#|######################################*GGGGGG################### |
0.5 +|+#####################################G#####GG#################+-+|
#|####################################GG########G################# |
#|###################################GG#########*GG############### |
#|#################################GG*############GGG############# |
0 G|GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG**##############*GGGGGGGGGGGGGGGG|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
+|------------------------------------------------------------------|
-0.5 +-+##########+#############+############+#############+##########+-+
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
$x$
|-------------------------$t = 0.800$ s----------------------------|
1.5 +|+ + + + + +-+|
+| + + + + +|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
1 +|+#######################################****###################+-+|
#|########################################*###*################### |
#|#######################################*GGGGG################### |
0.5 +|+#####################################GG####GG#################+-+|
#|#####################################GG#######G################# |
#|###################################GG##########GG############### |
#|#################################GG**###########*GG############# |
0 G|GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG**##############**GGGGGGGGGGGGGGG|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
+|------------------------------------------------------------------|
-0.5 +-+##########+#############+############+#############+##########+-+
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
$x$
|-------------------------$t = 0.810$ s----------------------------|
1.5 +|+ + + + + +-+|
+| + + + + +|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
1 +|+########################################***###################+-+|
#|########################################*###*################### |
#|#######################################*GGGGG*################## |
0.5 +|+#####################################GG#####GG################+-+|
#|#####################################GG#######GG################ |
#|####################################G*#########*G############### |
#|##################################GG*###########*GG############# |
0 G|GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG*###############*GGGGGGGGGGGGGGG|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
+|------------------------------------------------------------------|
-0.5 +-+##########+#############+############+#############+##########+-+
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
$x$
|-------------------------$t = 0.820$ s----------------------------|
1.5 +|+ + + + + +-+|
+| + + + + +|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
1 +|+########################################****##################+-+|
#|########################################*###*################### |
#|########################################GGGGG*################## |
0.5 +|+######################################GG####GG################+-+|
#|#####################################GG#######GGG############### |
#|####################################G*##########GG############## |
#|##################################GG*###########**GG############ |
0 G|GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG**##############**GGGGGGGGGGGGGG|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
+|------------------------------------------------------------------|
-0.5 +-+##########+#############+############+#############+##########+-+
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
$x$
|-------------------------$t = 0.830$ s----------------------------|
1.5 +|+ + + + + +-+|
+| + + + + +|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
1 +|+#########################################***##################+-+|
#|########################################**##**################## |
#|########################################GGGGGG*################# |
0.5 +|+######################################GG#####G################+-+|
#|######################################G########GG############### |
#|####################################GG*#########GG############## |
#|##################################GGG############*GGG########### |
0 G|GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG**##############**GGGGGGGGGGGGGG|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
+|------------------------------------------------------------------|
-0.5 +-+##########+#############+############+#############+##########+-+
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
$x$
|-------------------------$t = 0.840$ s----------------------------|
1.5 +|+ + + + + +-+|
+| + + + + +|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
1 +|+#########################################***##################+-+|
#|#########################################*###*################## |
#|########################################*GGGGG*################# |
0.5 +|+#######################################G#####G################+-+|
#|######################################GG#######GG############### |
#|####################################GG*#########*GG############# |
#|##################################GGG*###########*GGG########### |
0 G|GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG**#############**GGGGGGGGGGGGGG|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
+|------------------------------------------------------------------|
-0.5 +-+##########+#############+############+#############+##########+-+
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
$x$
|-------------------------$t = 0.850$ s----------------------------|
1.5 +|+ + + + + +-+|
+| + + + + +|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
1 +|+#########################################***##################+-+|
#|#########################################**##**################# |
#|########################################*GGGGGG################# |
0.5 +|+#######################################G#####GG###############+-+|
#|######################################GG########G############### |
#|#####################################GG#########*GG############# |
#|##################################GGG*############GGG########### |
0 G|GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG**##############**GGGGGGGGGGGGG|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
+|------------------------------------------------------------------|
-0.5 +-+##########+#############+############+#############+##########+-+
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
$x$
|-------------------------$t = 0.860$ s----------------------------|
1.5 +|+ + + + + +-+|
+| + + + + +|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
1 +|+#########################################****#################+-+|
#|##########################################*###*################# |
#|#########################################*GGGGG################# |
0.5 +|+#######################################GG####GG###############+-+|
#|######################################GGG#######GG############## |
#|#####################################GG##########*G############# |
#|###################################GG**###########*GG########### |
0 G|GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG**##############**GGGGGGGGGGGGG|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
+|------------------------------------------------------------------|
-0.5 +-+##########+#############+############+#############+##########+-+
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
$x$
|-------------------------$t = 0.870$ s----------------------------|
1.5 +|+ + + + + +-+|
+| + + + + +|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
1 +|+##########################################***#################+-+|
#|##########################################*###*################# |
#|#########################################*GGGGG*################ |
0.5 +|+#######################################GG#####GG##############+-+|
#|#######################################GG#######GG############## |
#|######################################G*#########*G############# |
#|###################################GGG*###########*GGG########## |
0 G|GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG**###############**GGGGGGGGGGGG|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
+|------------------------------------------------------------------|
-0.5 +-+##########+#############+############+#############+##########+-+
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
$x$
|-------------------------$t = 0.880$ s----------------------------|
1.5 +|+ + + + + +-+|
+| + + + + +|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
1 +|+##########################################****################+-+|
#|##########################################*###*################# |
#|##########################################GGGGG*################ |
0.5 +|+########################################GG####GG##############+-+|
#|#######################################GG#######GGG############# |
#|######################################G*##########GG############ |
#|####################################GG*###########**GG########## |
0 G|GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG**##############**GGGGGGGGGGGG|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
+|------------------------------------------------------------------|
-0.5 +-+##########+#############+############+#############+##########+-+
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
$x$
|-------------------------$t = 0.890$ s----------------------------|
1.5 +|+ + + + + +-+|
+| + + + + +|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
1 +|+###########################################***################+-+|
#|##########################################**##**################ |
#|##########################################GGGGGG*############### |
0.5 +|+########################################GG#####G##############+-+|
#|########################################G########GG############# |
#|######################################GG*#########GG############ |
#|####################################GGG############*GGG######### |
0 G|GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG**##############**GGGGGGGGGGGG|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
+|------------------------------------------------------------------|
-0.5 +-+##########+#############+############+#############+##########+-+
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
$x$
|-------------------------$t = 0.900$ s----------------------------|
1.5 +|+ + + + + +-+|
+| + + + + +|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
1 +|+###########################################***################+-+|
#|###########################################*###*################ |
#|##########################################*GGGGG*############### |
0.5 +|+#########################################G#####G##############+-+|
#|########################################GG#######GG############# |
#|######################################GG*#########*GG########### |
#|####################################GGG*###########*GGG######### |
0 G|GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG**#############**GGGGGGGGGGGG|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
+|------------------------------------------------------------------|
-0.5 +-+##########+#############+############+#############+##########+-+
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
$x$
|-------------------------$t = 0.910$ s----------------------------|
1.5 +|+ + + + + +-+|
+| + + + + +|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
1 +|+###########################################***################+-+|
#|###########################################**##**############### |
#|##########################################*GGGGGG############### |
0.5 +|+#########################################G#####GG#############+-+|
#|########################################GG########G############# |
#|#######################################GG#########*GG########### |
#|####################################GGG*############GGG######### |
0 G|GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG**##############**GGGGGGGGGGG|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
+|------------------------------------------------------------------|
-0.5 +-+##########+#############+############+#############+##########+-+
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
$x$
|-------------------------$t = 0.920$ s----------------------------|
1.5 +|+ + + + + +-+|
+| + + + + +|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
1 +|+###########################################****###############+-+|
#|############################################*###*############### |
#|###########################################*GGGGG############### |
0.5 +|+#########################################GG####GG#############+-+|
#|########################################GGG#######GG############ |
#|#######################################GG##########*G########### |
#|#####################################GG**###########*GG######### |
0 G|GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG**##############**GGGGGGGGGGG|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
+|------------------------------------------------------------------|
-0.5 +-+##########+#############+############+#############+##########+-+
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
$x$
|-------------------------$t = 0.930$ s----------------------------|
1.5 +|+ + + + + +-+|
+| + + + + +|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
1 +|+############################################***###############+-+|
#|############################################*###*############### |
#|###########################################*GGGGG*############## |
0.5 +|+#########################################GG#####GG############+-+|
#|#########################################GG#######GG############ |
#|########################################G*#########*G########### |
#|#####################################GGG*###########*GGG######## |
0 G|GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG**###############**GGGGGGGGGG|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
+|------------------------------------------------------------------|
-0.5 +-+##########+#############+############+#############+##########+-+
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
$x$
|-------------------------$t = 0.940$ s----------------------------|
1.5 +|+ + + + + +-+|
+| + + + + +|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
1 +|+############################################****##############+-+|
#|############################################*###*############### |
#|############################################GGGGG*############## |
0.5 +|+##########################################GG####GG############+-+|
#|#########################################GG#######GGG########### |
#|########################################G*##########GG########## |
#|######################################GG*###########**GG######## |
0 G|GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG**##############**GGGGGGGGGG|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
+|------------------------------------------------------------------|
-0.5 +-+##########+#############+############+#############+##########+-+
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
$x$
|-------------------------$t = 0.950$ s----------------------------|
1.5 +|+ + + + + +-+|
+| + + + + +|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
1 +|+#############################################***##############+-+|
#|############################################**##**############## |
#|############################################*GGGG#*############# |
0.5 +|+##########################################GG####GG############+-+|
#|##########################################G########GG########### |
#|########################################GG*#########GG########## |
#|######################################GGG############*GGG####### |
0 G|GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG**##############**GGGGGGGGGG|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
+|------------------------------------------------------------------|
-0.5 +-+##########+#############+############+#############+##########+-+
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
$x$
|-------------------------$t = 0.960$ s----------------------------|
1.5 +|+ + + + + +-+|
+| + + + + +|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
1 +|+#############################################***##############+-+|
#|#############################################*###*############## |
#|############################################*GGGGG*############# |
0.5 +|+###########################################G#####G############+-+|
#|##########################################GG#######GG########### |
#|########################################GG*#########*GG######### |
#|######################################GGG*###########*GGG####### |
0 G|GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG**#############**GGGGGGGGGG|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
+|------------------------------------------------------------------|
-0.5 +-+##########+#############+############+#############+##########+-+
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
$x$
|-------------------------$t = 0.970$ s----------------------------|
1.5 +|+ + + + + +-+|
+| + + + + +|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
1 +|+#############################################***##############+-+|
#|#############################################**##**############# |
#|############################################*#GGGG*############# |
0.5 +|+###########################################GG####GG###########+-+|
#|##########################################GG########G########### |
#|#########################################GG#########*GG######### |
#|######################################GGG*############GGG####### |
0 G|GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG**##############**GGGGGGGGG|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
+|------------------------------------------------------------------|
-0.5 +-+##########+#############+############+#############+##########+-+
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
$x$
|-------------------------$t = 0.980$ s----------------------------|
1.5 +|+ + + + + +-+|
+| + + + + +|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
1 +|+#############################################****#############+-+|
#|##############################################*###*############# |
#|#############################################*GGGGG############# |
0.5 +|+###########################################GG####GG###########+-+|
#|##########################################GGG#######GG########## |
#|#########################################GG##########*G######### |
#|#######################################GG**###########*GG####### |
0 G|GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG**##############**GGGGGGGGG|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
+|------------------------------------------------------------------|
-0.5 +-+##########+#############+############+#############+##########+-+
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
$x$
|-------------------------$t = 0.990$ s----------------------------|
1.5 +|+ + + + + +-+|
+| + + + + +|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
1 +|+##############################################***#############+-+|
#|##############################################*###*############# |
#|#############################################*GGGGG*############ |
0.5 +|+###########################################GGG###GGG##########+-+|
#|###########################################GG#######GG########## |
#|#########################################GG*#########*GG######## |
#|#######################################GG**###########**GG###### |
0 G|GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG**###############**GGGGGGGG|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
+|------------------------------------------------------------------|
-0.5 +-+##########+#############+############+#############+##########+-+
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
$x$
|-------------------------$t = 1.000$ s----------------------------|
1.5 +|+ + + + + +-+|
+| + + + + +|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
1 +|+##############################################****############+-+|
#|##############################################*###*############# |
#|##############################################GGGGG*############ |
0.5 +|+############################################GG####GG##########+-+|
#|###########################################GG#######GGG######### |
#|##########################################G*##########GG######## |
#|########################################GG*###########**GG###### |
0 G|GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG**##############**GGGGGGGG|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
+|------------------------------------------------------------------|
-0.5 +-+##########+#############+############+#############+##########+-+
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
$x$
|-------------------------$t = 1.000$ s----------------------------|
1.5 +|+ + + + + +-+|
+| + + +-------------------------++|
#|######################################|***?***exact solution####| |
#|######################################+###G###numerical solution+ |
1 +|+##############################################****############+-+|
#|##############################################*###*############# |
#|##############################################GGGGG*############ |
0.5 +|+############################################GG####GG##########+-+|
#|###########################################GG#######GGG######### |
#|##########################################G*##########GG######## |
#|########################################GG*###########**GG###### |
0 G|GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG**##############**GGGGGGGG|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
+|------------------------------------------------------------------|
-0.5 +-+##########+#############+############+#############+##########+-+
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
$x$
|-------------------------$t = 1.000$ s----------------------------|
1.5 +|+ + + + + +-+|
+| + + +-------------------------++|
#|######################################|***?***exact solution####| |
#|######################################+###G###numerical solution+ |
1 +|+##############################################****############+-+|
#|##############################################*###*############# |
#|##############################################GGGGG*############ |
0.5 +|+############################################GG####GG##########+-+|
#|###########################################GG#######GGG######### |
#|##########################################G*##########GG######## |
#|########################################GG*###########**GG###### |
0 G|GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG**##############**GGGGGGGG|
#|################################################################ |
#|################################################################ |
+|------------------------------------------------------------------|
-0.5 +-+##########+#############+############+#############+##########+-+
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
$x$
4.5. oned_swe.m#
% oned_swe.m by John Shiach
%
% This program solves the SWE using the Lax-Friedrichs scheme
% Clear workspaces
clearvars
close all
function dt = calculate_dt(U, dx, t, tmax)
% This function calculates the maximum allowable time step
global gravity
dt = 0.9 * dx / max(abs(U(2, :) ./ U(1, :)) + sqrt(gravity * U(1, :)));
dt = min(dt, tmax - t);
end
function U = calculate_BC(U)
% This function calculates the values of the ghost nodes using transmissive
% boundary conditions
U(:, 1) = U(:, 3);
U(:, end) = U(:, end - 2);
end
function F = calculate_F(U)
% This function calculates the flux vector F from U.
global gravity
F(1, :) = U(2, :);
F(2, :) = U(2, :).^2 ./ U(1, :) + 0.5 * gravity * U(1, :).^2;
end
function Unp1 = Lax_Friedrichs(U, F, dt, dx)
% This function calculates a single step of the Lax-Friedrichs scheme
N = size(U, 2) - 2;
Unp1 = U;
C = 0.5 * dt / dx;
for i = 2:N + 1
Unp1(:, i) = 0.5 * (U(:, i + 1) + U(:, i - 1)) - C * (F(:, i +1) - F(:, i - 1));
end
end
% Define global parameters
global gravity
gravity = 9.81; % acceleration due to gravity
% Define variables
N = 101; % number of nodes
xmin = 0; % lower bound of x
xmax = 1; % upper bound of x
hL = 1; % water height to the left of the dam
hR = 0.5; % water height to the right of the dam
t = 0; % time variable
tmax = 0.1; % max value of t
% Define spatial array (including ghost nodes)
dx = (xmax - xmin) / (N - 1);
x = xmin - dx:dx:xmax + dx;
% Define initial conditions
U = zeros(2, length(x));
U(1, x <= 0.5) = hL;
U(1, x > 0.5) = hR;
% Time marching loop
while t < tmax
% Calculate maximum allowable time step
dt = calculate_dt(U, dx, t, tmax);
% Calculate boundary conditions
U = calculate_BC(U);
% Calculate F vector
F = calculate_F(U);
% Calculate one step of the Lax-Friedrichs scheme
U = Lax_Friedrichs(U, F, dt, dx);
% Update t
t = t + dt;
% Plot current solution
num_plot = plot(x, U(1, :), 'o-', 'markerfacecolor', 'blue');
axis([xmin, xmax, 0, 1.2])
xlabel('$x$', 'fontsize', 16, 'interpreter', 'latex')
ylabel('$h$', 'fontsize', 16, 'interpreter', 'latex')
title(sprintf('$t = %1.3f$', t), 'fontsize', 16, 'interpreter', 'latex')
shg
pause(0.001)
end
% Plot numerical solution against exact solution
% load dambreak_exact
% hold on
% exact_plot = plot(xexact, hexact, 'r-', 'linewidth', 2);
% hold off
% leg = legend([exact_plot, num_plot], 'exact solution', 'numerical solution');
% set(leg, 'fontsize', 14, 'interpreter', 'latex')
|---------------------------$t = 0.003$-----------------------------|
+| + + + + +|
+| + + + + +|
1 F|FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF################################+-+|
#|###############################*################################# |
#|################################*################################ |
0.8 +|+###############################*###############################+-+|
#|################################FF############################### |
0.6 +|+################################*##############################+-+|
$h$ #|#################################*############################### |
#|#################################FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF|
0.4 +|+###############################################################+-+|
#|################################################################# |
0.2 +|+###############################################################+-+|
#|################################################################# |
+|-------------------------------------------------------------------|
0 +-+###########+############+#############+############+###########+-+
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
$x$
|---------------------------$t = 0.006$-----------------------------|
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